为,则L所围成的平面图形的面积为.【答案】【解析】所围图形的面积是(12)曲线上对应于的点处的法线方程为.【答案】【解析】,当时,,故法线方程为.(13)已知,,是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解,该方程满足条件的解为.【答案】【解析】由题意知:是对应齐次方程的解,是非齐次方程的解,故非齐次的通解为,将初始条件代入,得到,故满足条件的解为。(14)设是三阶非零矩阵,为A的行列式,为的代数余子式,若【答案】【解析】三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)当时,与为等价无穷小,求与的值。【解析】因为当时,与为等价无穷小所以又因为:即所以且(16)(本题满分10分)设是由曲线,直线及轴所围成的平面图形,分别是绕轴,轴旋转一周所得旋转体的体积,若,求的值。【解析】由题意可得:因为:所以(17)(本题满分10分)设平面内区域由直线及围成.计算。【解析】(18)(本题满分10分)设奇函数在上具有二阶导数,且.证明:(I)存在,使得;(II)存在,使得。【解析】(1)令则使得(2)令则又由于为奇函数,故为偶函数,可知,则使即,即(19)(本题满分11分)求曲线上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。【解析】本题本质上是在条件下求函数的最值。故只需求出在条件下的条件极值点,再将其与曲线端点处()的函数值比较,即可得出最大值与最小值。由于函数与的增减性一致,故可以转化为求的条件极值点:构造拉格朗日函数,求其驻点得为了求解该方程组,将前两个方程变形为进一步有,故即。则有或或。当时,有,不可能满足方程;当,由于,也只能有,不可能满足第三个方程;故必有,将其代入得,解得。可知点是唯一的条件极值点。由于,,故曲线上的点到坐标原点的最长距离为与最短距离为。(20)(本题满分11分)设函数,(I)求的最小值
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