7.下列矩阵中阵,与矩阵相似的是()(A)(B)(C)(D)【答案】()【解析】记矩阵,则秩,迹,特征值(三重)。观察四个选项,它们与矩阵的秩相等、迹相等、行列式相等,特征值也相等,进一步分析可得:,,,。如果矩阵与矩阵相似,则必有与相似(为任意常数),从而),故选(A),8.设是阶矩阵,记为矩阵的秩,表示分块矩阵,则()(A)(B)(C)(D)【答案】()【解析】把矩阵按列分块,记,则向量组可以由向量组线性表出,从而与,,等价,于是,故选()。,二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.9.若。【答案】1.【解析】【方法一】由拉格朗日中值定理可得其中,可知,而,根据夹逼定理可得,。【方法二】型未定式的极限必须化成商式。。10.曲线在其拐点处的切线方程为。【答案】.【解析】函数的定义域为,,;。令,解得,而,故点是曲线唯一的拐点。曲线在该点处的斜率,所以切线方程为。11.;【答案】。【解析】。12.曲线,在对应处的曲率。【答案】。【解析】有参数方程求导公式可知,,故曲率,代入,可得。13.设函数由方程确定,则。【答案】。【解析】方程两边同时对求导,得,将代入原方程可得,整理可得。14.设为3阶矩阵,为线性无关的向量组,,,,则的实特征值为。【答案】.【解析】,令,则,可逆,故相似于,于有相同的特征值。解得矩阵的实特征值为。,三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分10分)求不定积分.【解析】16.(本题满分10分)已知连续函数满足(I)求;(II)若在区间上的平均值为,求的值。【解析】令,则,从而,原方程化为,等式两边对求导,得,且,由于连续,可知可导,进而有可导。上式再求导可得。由一阶线性微分方程的通解公式可得,将代入,解得,于是有。(II)根据题意可知
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