全等三角形辅助线之截长补短与倍长中线(原题 解析)

)在AD的延长线上截取AF=AM,证明△DFM≌△MBN即可.Р【解答】证明:(1)如图1,在AD上截取AF=AM,Р∵△ABD是等边三角形,Р∴△AMF是等边三角形,Р∴DF=MB,∠DFM=120°,Р∵BN是∠DBA外角平分线,Р∴∠MBN=120°,Р∴∠DFM=∠MBN,Р∵∠DMN=60°,Р∴∠BMN+∠AMD=120°,Р∴∠A=60°,Р∴∠FDM+∠AMD=120°,Р∴∠FDM=∠BMN,Р在△FDM和△BMN中,Р,Р∴△FDM≌△BMN(ASA),Р∴DM=MN.Р(2)点M在AB的延长线上,如图2所示,Р在AD的延长线上截取AF=AM,Р∵△ABD是等边三角形,Р∴△AMF是等边三角形,Р∴DF=MB,∠DFM=60°,Р∵BN是∠DBA外角平分线,Р∴∠MBN=60°,Р∴∠DFM=∠MBN,Р∵∠BMN=∠AMD+∠DMN,∠FDM=∠A+∠AMD,Р∠DMN=∠A=60°,Р∴∠FDM=∠BMN,Р在△FDM和△BMN中,Р,Р∴△FDM≌△BMN(ASA),Р∴DM=MN.Р【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质,通过辅助线构造全等三角形是解决问题的关键.Р Р9.(2015春•闵行区期末)如图所示,在正方形ABCD中,M是CD的中点,E是CD上一点,且∠BAE=2∠DAM.求证:AE=BC+CE.Р【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质.菁优网版权所有Р【专题】证明题.Р【分析】延长AB到F,使BF=CE,连接EF与BC相交于点N,利用“角角边”证明△BFN和△CEN全等,,EN=FN,再根据正方形的性质可得∠BAN=∠DAM,然后求出∠BAN=∠EAN,再根据等腰三角形三线合一可得AE=AF,从而得证.Р【解答】证明:如图,延长AB到F,使BF=CE,连接EF与BC相交于点N,Р在△BFN和△CEN中,