截长补短法花溪中学刘瑜已知:如图,在△ABC中,AB=AC,E在线段AC上,D在AB的延长线上,连接DE交BC于F,过点E作EG⊥BC于G.且BD=CE,求证:FG=BF+CG.读题提问:请问题目告诉我们哪些已知条件,你能否通过已知条件直接证明结论呢?H学生讲解追问:1、当根据已知条件不能直接证明结论时,你能否作辅助线来完成证明呢?2、思考你将怎么做辅助线呢?一、截长法1、过E点作EH//AD交FG于H点2、在FG上截取HG=CG教师总结:H小组讨论小组讨论:通过截长法把FG截成两小段,你能否通过辅助线将小的两段延长,使它等于长的线段H学生展示二、补短法1、延长FE,过D点作DH垂直于EG2、延长FE,过D点作DH//EG3、延长BC至H,使CH=BF教师总结:截长补短法:它是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法,也是把几何题化难为易的一种思想。截长就是把一条线段截取成两段,补短就是在一条边上延长线段,使其等于另一条所求的边。其作用是构造全等三角形,转化线段,以达到证明线段相等的目的。归纳总结练习一:已知:如图4-1,在△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2.求证:AB=AC+CD.证明:方法一(补短法)延长AC到E,使DC=CE,则∠CDE=∠CED∴∠ACB=2∠E,∵∠ACB=2∠B,∴∠B=∠E,在△ABD与△AED中,∴△ABD≌△AED(AAS)∴AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC,∴AB=AC+DC.
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