全等三角形中做辅助线技巧

D的外角,∴∠BDF>∠BAD,同理,∠CDF>∠CAD,∴∠BDF+∠CDF>∠BAD+∠CAD,即:∠BDC>∠BAC。注意:利用三角形外角定理证明不等关系时,通常将大角放在某三角形的外角位置上,小角放在这个三角形的内角位置上,再利用不等式性质证明。有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形,如:例如:如图3-1:已知AD为△ABC的中线,且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:BE+CF>EF。分析:要证BE+CF>EF,可利用三角形三边关系定理证明,须把BE,CF,EF移到同一个三角形中,而由已知∠1=∠2,∠3=∠4,可在角的两边截取相等的线段,利用三角形全等对应边相等,把EN,FN,EF移到同个三角形中。证明:在DN上截取DN=DB,连接NE,NF,则DN=DC,在△DBE和△NDE中:DN=DB(辅助线作法)∠1=∠2(已知)ED=ED(公共边)∴△DBE≌△NDE(SAS)∴BE=NE(全等三角形对应边相等)同理可得:CF=NF在△EFN中EN+FN>EF(三角形两边之和大于第三边)∴BE+CF>EF。注意:当证题有角平分线时,常可考虑在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形,然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。三、截长补短法作辅助线。例如:已知如图6-1:在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任一点求证:AB-AC>PB-PC。分析:要证:AB-AC>PB-PC,想到利用三角形三边关系,定理证之,因为欲证的线段之差,故用两边之差小于第三边,从而想到构造第三边AB-AC,故可在AB上截取AN等于AC,得AB-AC=BN,再连接PN,则PC=PN,又在△PNB中,PB-PN<BN,即:AB-AC>PB-PC。证明:(截长法)在AB上截取AN=AC连接PN,在△APN和△APC中AN=AC(辅助线作法)∠1=∠2(已知)AP=AP(公共边)