方向,建立如图所以的空间直角坐标系,则,,,,,,设是平面的法向量,则,即,所以可取,又,故,所以AF与平面所成角的正弦值为.Р(2014·18)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.Р(Ⅰ)证明:PB // 平面AEC;Р(Ⅱ)设二面角D-AE-C为60º,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积.Р解析:(Ⅰ)证明:连结交于点,连结.∵底面为矩形,Р∴点为的中点,又为的中点,∴,∵平面,平面,∴//平面.Р(Ⅱ)以为原点,直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系,设,则,,,,∴,,设Р是平面的法向量,则,解得:,令,得,又∵是平面AED的一个法向量,∴, 解得,∴.Р(2013·18)如图,直三棱柱中,,分别是,的中点,.Р(Ⅰ)证明://平面;Р(Ⅱ)求二面角的正弦值.Р解析:(Ⅰ)连结AC1交A1C于点F,则F为AC1中点.又D是AB中点,连结DF,则BC1∥DF. 因为DF⊂平面A1CD,BC1平面A1CD,所以BC1 // 平面A1CD.Р(Ⅱ)由AC=CB=得,AC⊥BC. 以C为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz. 设CA=2,Р则D(1,1,0),E(0,2,1),A1(2,0,2),=(1,1,0),=(0,2,1),=(2,0,2).Р设n=(x1,y1,z1)是平面A1CD的法向量,则,即可取n=(1, -1, -1).Р同理,设m是平面A1CE的法向量,则,可取m=(2, 1, -2).Р从而cos〈n,m〉=,故sin〈n,m〉=. Р即二面角D-A1C-E的正弦值为.РCРBРAРDРC1РA1РB1Р(2012·19)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,,D是棱AA1的中点,DC1⊥BD.Р?(Ⅰ)证明:DC1⊥BC;Р?(Ⅱ)求二面角A1-BD-C1的大小.
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