+1)=-(x0+1).Р当x∈(-1,x0)时,h′(x)<0,Р当x∈(x0,+∞)时,h′(x)>0,Р所以当x=x0时,h(x)取得最小值h(x0),Р所以h(x)≥h(x0)=ex0+1-ln(x0+1)-2Р=+(x0+1)-2>0.Р综上可知,当m≥1时,f(x)>g(x)-x3.Р [方法点拨]Р本题可先进行适当放缩,m≥1时,ex+m≥ex+1,再两次构造函数h(x),p(x).Р[对点演练]Р(2016·合肥一模)已知函数f(x)=ex-xln x,g(x)=ex-tx2+x,t∈R,其中e为自然对数的底数.Р(1)求函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程;Р(2)若g(x)≥f(x)对任意的x∈(0,+∞)恒成立,求t的取值范围.Р解:(1)由f(x)=ex-xln x,知f′(x)=e-ln x-1,Р则f′(1)=e-1,Р而f(1)=e,Р则所求切线方程为y-e=(e-1)(x-1),Р即y=(e-1)x+1.Р(2)∵f(x)=ex-xln x,g(x)=ex-tx2+x,t∈R,Р∴g(x)≥f(x)对任意的x∈(0,+∞)恒成立等价于ex-tx2+x-ex+xln x≥0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,Р即t≤对任意的x∈(0,+∞)恒成立.Р令F(x)=,Р则F′(x)==,Р令G(x)=ex+e--ln x,Р则G′(x)=ex--=>0对任意的x∈(0,+∞)恒成立.Р∴G(x)=ex+e--ln x在(0,+∞)上单调递增,且G(1)=0,Р∴当x∈(0,1)时,G(x)<0,当x∈(1,+∞)时,G(x)>0,Р即当x∈(0,1)时,F′(x)<0,当x∈(1,+∞)时,F′(x)>0,Р∴F(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,Р∴F(x)≥F(1)=1,Р∴t≤1,Р即t的取值范围是(-∞,1].
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