向量组线性相关性的几种判定方法（毕业设计论文doc）

论[1] 向量组=线性相(无)关齐次线性方程组Р (11)Р有(无)非零解.Р例3[7] 证明向量组=(2,1,0,5),=(7,-5,4,-1),=(3,-7,4,-11)线性相关.Р证明以,,为系数向量的齐次线性方程组是++=0,即Р (12)Р利用矩阵的行初等变换将方程组的系数矩阵转化为阶梯型矩阵,即Р Р由行阶梯型矩阵可知,=.即齐次线性方程组有非零解,所以向量组,,线性相关.Р3.3利用矩阵的秩进行判定Р结论[5] 设向量组:是由个维列向量所组成的向量组,则向量组的线性相关性可由向量组所构成的矩阵=()的秩的大小来进行判定.即Р(i) 当R()= 时,则向量组:是线性无关的.Р(ii) 当R()时,则向量组:是线性相关的.Р例4 设=,,问向量组,,是否线性相关.Р解因为Р,所以向量组,,线性相关.Р例5[4] 试讨论n维单位向量组的相关性.Р解因为的行列式, 即,Р所以,维单位向量组线性相关.Р利用矩阵的秩与利用齐次线性方程组的解进行判定的出发点不同,但实质上是一样的,都是要利用矩阵的初等行变换将相应的系数矩阵化简为行阶梯形矩阵,从而求出向量组的秩,即系数矩阵的秩,然后再作出判定.Р3.4利用行列式值进行判定Р行列式值的判定实质上是根据克莱姆法则判定以向量组作为系数向量的齐次线性方程组是否有非零解,然后再对向量组的线性相关性作出判定,所以能应用行列式值进行判定的向量组,也可以应用矩阵的秩和齐次线性方程组是否有非零解的方法来进行判定.Р结论[3] 若向量组: 是由个维列向量所组成的向量组,且向量组所构成的矩阵=(),即为阶方阵,则Р(i) 当=0时,则向量组:是线性相关的.Р(ii) 当≠0时,则向量组:是线性无关的.Р例6设向量组线性无关,判断向量组Р是线性相关还是线性无关.Р解设存在4个数,使得Р, (13)Р拆项重组为Р, (14)Р由线性无关知Р (15)