2014-2015年初高中数学衔接教材(共28页)

个不相等的实数根x1=1,x2=a-1.(3)由于该方程的根的判别式为Δ=22-4×1×a=4-4a=4(1-a),所以①当Δ>0,即4(1-a)>0,即a<1时,方程有两个不相等的实数根,;?②当Δ=0,即a=1时,方程有两个相等的实数根x1=x2=1;?③当Δ<0,即a>1时,方程没有实数根.说明:在第3,4小题中,方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化,于是,在解题过程中,需要对a的取值情况进行讨论,这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法,在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题.2.1.2根与系数的关系(韦达定理)?若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,,则有?;.?所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:?如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x1,x2,那么x1+x2=,x1·x2=.这一关系也被称为韦达定理.?特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0,若x1,x2是其两根,由韦达定理可知x1+x2=-p,x1·x2=q,?即p=-(x1+x2),q=x1·x2,?所以,方程x2+px+q=0可化为x2-(x1+x2)x+x1·x2=0,由于x1,x2是一元二次方程x2+px+q=0的两根,所以,x1,x2也是一元二次方程x2-(x1+x2)x+x1·x2=0.因此有?以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1·x2=0.例2已知方程的一个根是2,求它的另一个根及k的值.分析:由于已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出k的值,再由方程解出另一个根.但由于我们学习了韦达定理,又可以利用韦达定理来解题,即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项,于是可以利用两根之积求出方程的另一个根,再由两根之和求出