,).Р直线:,即,∴直线过定点.Р【名师点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法Р(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点Р;Р(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.Р【例3】【2018河南中原名校(即豫南九校)高三第六次质量考评】已知椭圆的离心率,且椭圆与圆的4个交点恰为一个正方形的4个顶点.Р(I)求椭圆的标准方程;Р(II)已知点为椭圆的下顶点,为椭圆上与不重合的两点,若直线与直线的斜率之和为,试判断是否存在定点,使得直线恒过点,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.Р【答案】(I) ;(II) 存在定点,使得直线恒过点Р试题解析:(I)∵椭圆的离心率,∴,即,Р∵椭圆与圆的4个交点恰为一个正方形的4个顶点,∴直线与圆的一个交点在椭圆上,∴,由解得,∴椭圆的标准方程为.Р(II)由(I)知,当直线的斜率存在时,设直线的方程为,Р代入得,,∴,即.设,则,Р∵直线与直线的斜率之和为,∴Р ,整理得,Р∴直线的方程为,显然直线经过定点.Р当直线的斜率不存在时,设直线的方程为,Р∵直线与直线的斜率之和为,设,则,Р∴,解得,Р此时直线的方程为,显然直线经过定点.Р综上,存在定点,使得直线恒过点.Р【名师点睛】本题的关键是计算,先要把直线DE的方程和椭圆的方程联立,得到比较复杂的韦达定理,再把韦达定理代入=,化简得到,计算量比较大,如果计算出错,则结果出错.∴我们在计算时要认真细心.学科~网Р【跟踪练习】Р1.已知椭圆的左顶点为A,不过点A的直线与椭圆交于不同的两点P,Q,当,求与的关系,并证明直线过定点.Р∵,且A为左顶点,∴,即Р,整理得Р,把式(*)代入化简得,得或.Р(I)当时,过左顶点,与题意不符,故舍去;Р(II)当时,过定点,且满足,符合题意,∴,过定点.
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