接BD.Р∵=,∴∠DBC=∠ABC=30°,Р∴∠ABD=60°.Р∵OB=OD,∴△OBD是等边三角形,∴BD=OB.Р∵BE=AB,∴OB=BE=DB,∴△ODE是直角三角形,∴∠ODE=90°,∴DE是⊙O的切线;Р②由①知,△OBD是等边三角形,且∠ABC=∠CBD,∴OD⊥BC,Р∴CF=FB=OB·cos30°=6×=3.Р在Rt△POD中,OF=DF,∴PF=DO=3(直角三角形斜边上的中线,等于斜边的一半),∴CP=CF-PF=3-3.Р15.(2017包头中考)如图,AB是⊙O的直径,弦CD与AB交于点E,过点B的切线BP与CD的延长线交于点P,连接OC,CB.Р(1)求证:AE·EB=CE·ED;Р(2)若⊙O的半径为3,OE=2BE,=,求tan∠OBC的值及DP的长.Р解:(1)连接AD.∵∠A=∠BCD,∠AED=∠CEB,Р∴△AED∽△CEB,Р∴=,Р∴AE·EB=CE·ED;Р(2)∵⊙O的半径为3,Р∴OA=OB=OC=3.Р∵OE=2BE,∴OE=2,BE=1,AE=5.Р∵=,∴设CE=9x,DE=5x.Р∵AE·EB=CE·ED,∴5×1=9x·5x,Р解得:x1=,x2=-(不合题意舍去),Р∴CE=9x=3,DE=5x=.Р过点C作CF⊥AB于F.Р∵OC=CE=3,∴OF=EF=OE=1,∴BF=2.Р在Rt△OCF中,∵∠CFO=90°,Р∴CF2+OF2=OC2,∴CF=2.Р在Rt△CFB中,∵∠CFB=90°,Р∴tan∠OBC===.Р∵CF⊥AB于F,∴∠CFB=90°.Р∵BP是⊙O的切线,AB是⊙O的直径,Р∴∠EBP=90°,∴∠CFB=∠EBP.Р在△CFE和△PBE中,∵∠CFB=∠PBE,EF=EB,∠FEC=∠BEP,Р∴△CFE≌△PBE(ASA),∴EP=CE=3,Р∴DP=EP-ED=3-=.
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