容易将其写成一个整式与一个分式之和或两个分式之和,再求出不定积分。Р定积分:Р(1)定积分的值是一个常数,它只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关,而与积分变量的字母无关,即应有Р(2)在定积分的定义中,我们假定a<b;如果b<a,我们规定:Р如果a=b,则规定:Р(3)对于定义在上的连续奇(偶)函数,有Р 为奇函数为偶函数Р定积分的性质:Р定积分的计算:Р一、变上限函数Р设函数在区间上连续,并且设x为上的任一点,于是,在区间上的定积分为Р这里x既是积分上限,又是积分变量,由于定积分与积分变量无关,故可将此改为Р如果上限x在区间上任意变动,则对于每一个取定的x值,定积分有一个确定值与之对应,所以定积分在上定义了一个以x为自变量的函数,我们把称为函数在区间上变上限函数Р记为Р推理:Р定积分计算公式Р利用定义计算定积分的值是十分麻烦的,有时甚至无法计算。因此,必须寻求计算定积分的简便方法。Р我们知道:如果物体以速度作直线运动,那么在时间区间上所经过的路程s为Р图 5-11Р另一方面,如果物体经过的路程s是时间t的函数,那么物体从t=a到t=b所经过的路程应该是(见图5-11)Р即Р由导数的物理意义可知:即是一个原函数,因此,为了求出定积分,应先求出被积函数的原函数,再求在区间上的增量即可。Р如果抛开上面物理意义,便可得出计算定积分的一般方法:Р设函数在闭区间上连续,是的一个原函数,即,则Р这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。Р为了使用方便,将公式写成Р牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系,提供了计算定积分有效而简便的方法,从而使定积分得到了广泛的应用。Р定积分的换元公式:Р计算要领是:定积分的分部积分法:РyРa o b xР图5.8Р5.4.2定积分求平面图形的面积
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