初等函数在其定义的区间内连续。利用初等函数连续性的结论可知:如果 f(x )是初等函数,且 x是定义区间内的点,则 f(x)在 x处连续也就是说,求初等函数在定义区间内某点处的极限值,只要算出函数在该点的函数值即可。[0407 ] [0611] 例1.证明三次代数方程 x-5x+1=0 在区间( 0,1 )内至少有一个实根.证:设 f(x)=x-5x+1 f(x)在[ 0,1]上连续 f(0)=1f(1)=-3 由零点定理可知,至少存在一点ξ∈(0,1) 使得 f(ξ)=0,ξ-5ξ+1=0 即方程在( 0,1)内至少有一个实根。本章小结函数、极限与连续是微积分中最基本、最重要的概念之一,而极限运算又是微积分的三大运算中最基本的运算之一,必须熟练掌握,这会为以后的学习打下良好的基础。这一章的内容在考试中约占 15% ,约为 22 分左右。现将本章的主要内容总结归纳如下: 一、概念部分重点:极限概念,无穷小量与等价无穷小量的概念, 连续的概念。极限概念应该明确极限是描述在给定变化过程中函数变化的性态,极限值是一个确定的常数。函数在一点连续性的三个基本要素: (1)f(x)在点 x有定义。(2)存在。(3)。常用的是 f(x-0)=f(x+0)=f(x)。二、运算部分重点:求极限,函数的点连续性的判定。 1.求函数极限的常用方法主要有: (1)利用极限的四则运算法则求极限; 对于“”型不定式,可考虑用因式分解或有理化消去零因子法。(2)利用两个重要极限求极限; (3)利用无穷小量的性质求极限; (4)利用函数的连续性求极限; 若f(x)在 x处连续,则。(5)利用等价无穷小代换定理求极限; (6)会求分段函数在分段点处的极限; (7)利用洛必达法则求未定式的极限。 2. 判定函数的连续性,利用闭区间上连续函数的零点定理证明方程的根的存在性。……(以下部分略) 14 页请联系——
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