(因为等式右边只有2,3的因数)Р故此种情况的解为Р若,此时Р 因此,所以都为奇数,从而,Р(事实上)Р所以,原方程变为(其中为奇数)Р由此知从而解得Р设于是Р因为Р又因为(两个连续的奇数是互素)Р所以于是, Р若则得则与(2)所讨论类似得出无解。Р若则此时得出解为Р综上所述,所求的非负解为Р例8.在正整数构成的等差数列1,3,5,中删除所有和55不互质的项后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个数列显然那么等于多少?Р分析:考虑正整数列1,2,3,4,中每连续的110个数中与2,5,11都互质的数的个数一样多。则求出与2,5,11不互质的数后就可求出与其互质的数的个数。Р解:可以看作数列1,2,3,4,中删除所有能被2,5,11整除的项后把剩下的数按小到大排列而成的数列,于是余下的数与互质。而每连续110个数中与110互质的数的个数为Р(个) (欧拉函数)Р又,而正整数列中第7个与110互质的数是19,所以Р例9.已知的三边长分别为a、b、c,且满足abc=Р(1)是否存在边长均为整数的?若存在,求出三边长;若不存在,说明理由.Р(2)若a>1,b>1,c>1,求出周长的最小值.Р解(1)不妨设整数a≥b≥c,显然c≥2.Р若c≥5,这时由,可得,矛盾.故c只可能取2,3,4.Р当c=2时,,有又a≥b≥2,故无解.Р当c=3时,,即.Р又a≥b≥3,故或或解得或或.能构成三角形的只有a=8,b=7,c=3.Р当c=4时,同理解得a=9,b=4或a=6,b=5. 能构成三角形的只有a=6,b=5,c=4.Р故存在三边长均为整数的,其三边长分别为4,5,6或3,7,8.Р(2)由,可得Р,Р所以.Р又,则有Р,Р故的周长最小值为,当且仅当时,取得此最小值.Р例10.求Р解: 显然有Р Р另外Р Р所以Р(事实上我们知道,或者Р )Р例11.,求证: 等式)Р证明:设Р则左边
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