0,1,0),M(0,2,1),N(1,2,0).Р∴向量=(0,1,0)-(2,0,2)=(-2,1,-2),Р=(0,2,1)-(0,0,0)=(0,2,1),=(1,2,0).Р∴·=(-2,1,-2)·(0,2,1)Р=(-2)×0+1×2+(-2)×1=0.Р·=(-2,1,-2)·(1,2,0)Р=(-2)×1+1×2+(-2)×0=0.Р∴⊥,⊥,Р即A1P⊥DM,A1P⊥DN,又DM∩DN=D,Р∴A1P⊥平面DMN.Р17.棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC?Р[解析] 以D为原点建立如图所示的坐标系,设存在点P(0,0,z),=(-a,0,z),=(-a,a,0),=(a,a,a),∴B1D⊥面PAC,∴·=0,Р·=0.Р∴-a2+az=0.Р∴z=a,即点P与D1重合.Р∴点P与D1重合时,DB1⊥面PAC.Р18.如图所示,ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M、N、Q分别是PC、AB、CD的中点,Р(1)求证:MN∥PAD;Р(2)求证:平面QMN∥平面PAD;Р(3)求证:MN⊥平面PCD.Р[解析] (1)如图以A为原点,以AB,AD,AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,Р设B(b,0,0),D(0,d,0),P(0,0,d),则C(b,d,0)Р∵M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点,Р∴M,N,QР∴=,Р∵面PAD的一个法向量为m=(1,0,0)Р∴·m=0,即⊥m,Р∴MN不在面PAD内,Р∴MN∥面PAD,Р(2)=(0,-d,0),⊥m,Р又QN不在面PAD内,Р又QN∥面PAD.Р又∵MN∩QN=N,Р∴面MNQ∥平面PAD.Р(3)=(0,d,-d),=(b,0,0),Р∴·=d+(-d)=0,Р·=0,Р∴⊥,⊥DC,又PD∩DC=D,Р∴⊥平面PCD.
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