.Р当时,。设蚊子沿着负梯度方向逃跑,曲线上任一点Р处切线的方向向量应满足Р由此可得Р消去dt得,且满足初始条件,这是两个可分离变量方程,解此方程得Р此即就是蚊子逃跑路线的参数方程。Р6.(10分) 设有一高度为(t为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程,(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需要多少小时? Р解:设在t时刻时,雪堆体积为,侧面积为,则Р 其中Р Р由题意知,,即,解之得。Р由初始条件,可得,令,可得小时,故Р雪堆全部融化需要100小时。Р7.(10分)计算圆柱面被球面截下的那部分的面积。Р解:将所给圆柱面的方程改写成,它的参数方程为Р代入球面方程得到圆柱面与球面的交线方程Р,即Р由对称性,所求的面积,其中Р所以所求的面积为.Р8. (10分) 计算,Р其中是的上侧。Р解:记,取下侧,则Р与构成了外侧的封闭的半球面,由高斯公式Р对第一项的三重积分作平移变换:,把原点平移到球心上,其变换的雅克比行列式Р,所以Р其中利用了对称性。第二项积分为Р其中利用了平移变换和对称性Р故。Р9. 设,Р(1)求幂级数的和函数;(2)求的极值。Р解:(1)设幂级数的和函数为,其收敛区间为。Р,,Р,Р Р所以,解此二阶常系数线性齐次方程,其通解为Р代入初值,得,;Р(2)Р令得惟一驻点且,Р和函数为在处取极小值。Р10. (10分)设是由球面围成的区域,求绕直线旋转的转动惯量。(设)Р解1:由于直线过原点,所以球面围成的区域对于的转动惯量等价于对于任一坐标轴的转动惯量。因此所求的转动惯量为对Z轴的转动惯量。利用球坐标计算Р Р。Р解2:设为内的任一点,为求点到直线的距离,注意到该直线过原点,从向作垂线,记垂足为,则三角形就构成直角三角形,且,而即为所求的距离。Р于是绕直线旋转的转动惯量为Р.
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