关于椭圆与双曲线对偶性质的重要结论 (1)

.Р证明:设,,则.Р由余弦定理,Р.Р,Р∴Р(2)双曲线(a>0,b>o)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为双曲线上异于顶点任意一点,则双曲线的焦点三角形的面积为;; .Р证明:设,Р,Р,Р∴Р13.(1)若P为椭圆(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ,则.Р证明:设. , ①Р又Р ②Р由①、②得:Р(2)若P为双曲线(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ,则(或).Р证明:设P在左支,,Р ①Р ②Р由①、②得:Р同理,P在右支时,Р14.(1)椭圆(a>b>0)的焦半径公式:,.( , ,).Р证明:椭圆上点M到左右准线距离,,∴Р(2)双曲线(a>0,b>o)的焦半径公式:( , ,Р,.Р当时,取“+”;当时,取“-”.Р证明:若M在右支,则M到左准线距离,, Р若M在左支,则,, Р15.(1)P为椭圆(a>b>0)上任一点,F1、F2为左、右焦点,A为椭圆内一定点,则,当且仅当三点共线时,等号成立.Р证明:若A、F2、P不共线,Р在△APF2中Р∴,Р当A、P、F2共线时取等号.Р(2)P为双曲线(a>0,b>0)上任一点,F1,F2为左、右焦点,A为双曲线内一定点,则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时,等号成立.Р证明:若A、P、F2不共线,Р在中Р∴Р当且仅当P和A、F2在y同侧且共线时,,Р此时Р16.(1)椭圆(a>b>0)上存在两点关于直线:对称的充要条件是.Р分析:该问题等价于在椭圆上找两点,过这两点直线,斜率为,其中垂线为则。Р证明:设方程为即,中点为Р得Р Р 代入, Р又△>0,∴Р注:还可以用点差法.Р(2)双曲线(a>0,b>0)上存在两点关于直线:对称的充要条件是.Р证明:该问题等价于在双曲线找两点,过这两点直线,斜率为, 其中垂线为,则Р设方程为代入,Р 得