椭圆无公共点.解:由可得;(1)当时,直线与椭圆有两个公共点;(2)当时,直线与椭圆有一个公共点;(3)当时,直线与椭圆无公共点.[说明]由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接说明两曲线的交点状况,而方程解的情况由判别式来决定,直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系,直线方程与椭圆方程联立,消去或得到关于或的一元二次方程,则(1)直线与椭圆相交(2)直线与椭圆相切(3)直线与椭圆相离,所以判定直线与椭圆的位置关系,运用方程及其判别式是最基本的方法.例4若直线与椭圆恒有公共点,求实数的取值范围.解法一:由可得,即.解法二:直线恒过一定点当时,椭圆焦点在轴上,短半轴长,要使直线与椭圆恒有交点则即当时,椭圆焦点在轴上,长半轴长可保证直线与椭圆恒有交点即综述:解法三:直线恒过一定点要使直线与椭圆恒有交点,即要保证定点在椭圆内部即[说明]法一转化为的恒成立问题;法二是根据两曲线的特征观察所至;法三则紧抓定点在椭圆内部这一特征:点在椭圆内部或在椭圆上则.例5椭圆中心在原点,长轴长为10,一个焦点的坐标,求经过此椭圆内的一点,且被点平分的弦所在的直线方程.解:由已知,,且焦点在轴上,,椭圆方程为.设过点的直线交椭圆于点、.是弦的中点,则,将两点的坐标代入椭圆方程,,两式相减整理得:,即.所求的直线方程为,即.[说明]此题因为涉及椭圆的弦中点问题,除通法外,可以优先考虑“点差法”.但需注意两点:1)斜率是否存在?2)应检验直线和椭圆是否相交?即联立直线和椭圆方程,得到关于x或y的一元二次方程,检验其根的判别式是否大于0?例6求椭圆中斜率为1的平行弦的中点的轨迹.解:见书本P50[说明]此题因为涉及椭圆的弦中点问题,本题也可使用“点差法”.例7已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2,若过点P(0,-2)及F1的直线交椭圆于A,B两点,求⊿ABF2的面积解法一:由题可知:直线方程为由,可得,,
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