解,我们指出这两个解在上线性无关,从而它们能够组成方程的基本解组.事实上,这时,而最后一个行列式是著名的范德蒙德(Vandermonde)行列式,它等于.由于假设,故此行列式不等于零,从而,于是线性无关,这就是所要证明的.而此方程的通解可表示为(其中为任意数).如果特征方程有复根,则因方程的系数是实常数,复根将成对共轭出现.设是一特征根,则也是特征根,因而与这对共轭复根对应的,方程有两个复值解,.根据定理可知,复值解的实部和虚部也是方程的解.这样一来,对应于特征方程的一对共轭复根,我们可求的方程的两个实值解.2.1.2特征根有重根的情形设特征方程有重根则众所周知,先设,即特征方程有因子,于是,也就是特征方程的形状为,而对应的方程变为.易见它有个解1,,而且它们是线性无关的.这样一来,特征方程的重零根就对应方程的个线性无关的解1,.如果这个重根,我们作变量变换,注意到,可得,于是对应方程化为,其中仍为常数,而相应的特征方程为,直接计算易得,因此,从而,,这样,问题就化为前面讨论过的情形了.2.2常数变易法常数变易法是求解微分方程的一种很重要的方法,常应用于一阶线性微分方程的求解。在常数变易法中,通过将常数C放入当中就可以得到非齐次线性方程的通解。它是拉格朗日十一年的研究成果,我们所用仅是他的结论,并无过程。它是连接非齐次线性微分方程与相应的齐次线性微分方程的桥梁。对于二阶常系数非线性常微分方程的解法,只要先求出其一个特解,再运用特征方程法求得方程的通解.求常微分方程的通解.解方程对应齐次方程为,其特征方程为.由于方程的通解等于其对应的齐次线性微分方程的通解与其自身的一个特解之和,而二阶常系数齐次线性微分方程的通解我们已经研究过了,所以此处只需求出其一个特解.若为上面方程的实根,则是方程的解.由常数变易法设的一个解为,代入原方程并化简得,这是关于的一阶线性微分方程,其一个特解为
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