MATLAB解常微分方程及其应用

指出下列微分方程的阶数并判断是线性还是非线性、?齐次还是非齐次方程:Р定义5 确定了通解中任意常数以后得到的解称为微分方程?的特解.Р定义4 若微分方程的解中所含相互独立的任意常数的个数?与微分方程的阶数相同,这样的解叫做微分方程的通解.Р例2. 验证函数是微分方程的解.Р例3. 求方程的通解.Р例4. 求方程满足初始条件:当时? 的特解.Р注:这里所求的微分方程的解、通解、特解都是解析解?(精确解).Р2. MATLAB求微分方程的解析解Р格式一:?y=dsolve('f1', 'f2', …, 'fm')?格式二:?y=dsolve('f1', 'f2', …, 'fm' ,'x') %指明自变量Р fi既可以描述微分方程,又可描述初始条件或边界条件。如:? 描述微分方程时? 描述条件时Р例5 求方程的解析解.Р解:?>> syms x,t;?x=dsolve('D1x=x*(1-x^2)','t')?x =? 1Р 0Р -1Р (-1/(exp(C3 - 2*t) - 1))^(1/2)Р若方程变为:Р解:?>> syms x,t; ?x=dsolve('Dx=x*(1-x^2)+1')Р警告: Explicit solution could not be found;? implicit solution returned. Р因此,不是所有方程都有解析解,只有极少部分的微分方程有解析解.Р当找不到原方程的解析解时,我们只能考虑其数值解.Р以下面的一阶常微分方程(ODE )初值问题为例:Р数值解法就是求y(x)在某些分立的节点 xn 上的近似值yn,用以近似y(xn)Р3.1 简单欧拉(L.Euler, 1707-1783)方法。Р欧拉数值算法就是由初值通过递推求解,递推求解就是从初值开始,后一个函数值由前一个函数值得到。关键是构造递推公式。Р3. 欧拉近似方法