令p=dy/dx ,这 dp/dx= d 2y/dx 2,这(4) 化为(dp/dx)*x=[1+p 2] 1/2/2,可分离变量求得 ln{p+[1+p 2] 1/2/2}=0.5*lnx+c ,又 p(100)=0 ,所以 c=-ln10 ,从而 p+[1+p 2] 1/2/2=x 1/2/10 ,这 p=( x 1/2/10-10/x 1/2)/2 即dy/dx=( x 1/2/10-10/x 1/2)/2 ,从而 y=(x-300)*x 1/2/30+c ,又 y(100)=0 ,则 y=(x-300)*x 1/2/30+200/3 令x=0 ,得 y(0)=200/3<66 10 故兔子无危险。(4) 用数值方法求解狼追赶兔子的过程可以用计算机模拟。以 1 秒钟为一个时间步长,模拟狼和兔子的运动过程。根据题设,初始时刻的狼、兔距离为 100 米。所以,初始时刻 Q点和 P 点的坐标分别为Q(0 ,0),P(100 ,0) 。让兔子跑 60 米后结束,观察狼追赶时的路线以及追赶结束时狼兔的距离。编写程序如下 xy=[100,0];uv=[0,0]; e=[-1,0];d=100; for k=1:60 xy(k+1,:)=xy(k,:)+2*e; uv(k+1,2)=k; e=uv(k+1,:)-xy(k+1,:); d=norm(e);e=e/d; x=xy(:,1);y=xy(:,2); u=uv(k,1);v=uv(k,2); plot(x,y,'black*',u,v,'blacko',0,60,'o'),pause(.5) end 运行后狼的运动轨迹如下图: 狼的运动轨迹图 1 程序运行后,当兔子跑回窝时,狼兔距离为: d=8.0953 ,这说明狼不能追上兔子。下面简单对问题进行推广:在初始条件不变时(即狼、兔距离为 100 米,兔子在洞穴南 60米),
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