导数中的任意性与存在性问题探究

结到这一类型.Р例1 :已知二次函数,若时,恒有,求实数a的取值范围.Р 解:,∴;即;Р 当时,不等式显然成立, ∴a∈R.Р 当时,由得:,而Р∴. 又∵,∴,Р综上得a的范围是。Р〈二〉、型Р例2 已知函数,若对,都有成立,则的最小值为____.Р 解∵对任意x∈R,不等式恒成立,Р ∴分别是的最小值和最大值.Р 对于函数,取得最大值和最小值的两点之间最小距离是π,即半个周期.Р 又函数的周期为4,∴的最小值为2.Р 〈三〉、.型Р例3: (2005湖北)在这四个函数中,当时,使恒成立的函数的个数是( )Р A.0 B.1 C.2 D.3Р 解:本题实质就是考察函数的凸凹性,即满足条件的函数,应是凸函数的性质,画草图即知符合题意;选CР 〈四〉、.型Р例4 已知函数定义域为,,若,时,都有,若对所有,恒成立,求实数取值范围.Р 解:任取,则,由已知,又,∴f,即在上为增函数.Р ∵,∴,恒有;Р ∴要使对所有,恒成立,即要恒成立,Р 故恒成立,令,只须且,Р 解得或或。Р 评注: 形如不等式或恒成立,实际上是函数的单调性的另一种表现形式,在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息.Р 〈五〉、.型:Р例5: 已知,,若当时,)恒成立,求实数t的取值范围.Р 解:在恒成立,即在恒成立在上的最大值小于或等于零.Р 令,,∵Р ∴,即在[0,1]上单调递减,F(0)是最大值.Р ∴,即。Р 〈六〉、型Р例6:已知函数,若对任意,都有Р,求的范围.Р 解:因为对任意的,都有成立,Р ∴,∵,令得x>3或x<-1;得;∴在为增函数,在为减函数.Р ∵,∴.∴,∴。Р 〈七〉、(为常数)型;Р例7 :已知函数,则对任意()都有Р恒成立,当且仅当=____,=____时取等号.Р 解:因为恒成立,Р 由,易求得,,∴。Р〈八〉、型Р例9: 已知函数,对于时总有成立,求实数的范围.