连接A′B,与河岸线相交于C,则C点就是饮马的地方,将军只要从A出发,沿直线走到C,饮马之后,再由C沿直线走到B,所走的路程就是最短的.Р如果将军在河边的另外任一点C′饮马,所走的路程就是AC′+C′B,但是,AC′+C′B=A′C′+C′B>A′B=A′C+CB=AC+CB.Р可见,在C点外任何一点C′饮马,所走的路程都要远一些.Р这有几点需要说明的:Р(1)由作法可知,河流l相当于线段AA′的中垂线,所以AD=A′D.Р(2)将军走的路程是AC+BC,就等于A′C+BC,而两点之间线段最短,所以C点为最优.Р第1题解图Р2. 解:(1);Р【解法提示】如解图①所示,作点B关于AC对称的对称点B′,连接B′E交AC于点P,Р第2题解图①Р此时PB+PE的值最小.连接AB′.Р在Rt△ACB中,РAB′=AB===2.Р∴AE=AB=,Р∵∠B′AC=∠BAC=45°,Р∴∠B′AB=90°,Р∴PB+PE的最小值=B′E===.Р(2)如解图②,作点B关于AC对称的对称点B′,过B′作B′N⊥AB于N,交AC于M.连接BM,AB′,此时BM+MN的值最小,即BM+MN=B′M+MN=B′N.Р∵点B′与B关于AC对称,Р∴AB′=AB,Р又∵∠BAC=30°,Р∴∠B′AB=60°,Р∴△B′AB是等边三角形,Р∴B′B=AB=2,∠B′BN=60°,Р又∵B′N⊥AB,Р∴B′N=B′B·sin∠B′BN=2×=;Р第2题解图②Р(3)构造图形,如解图③所示,Р其中AB=4,AC=1,DB=2,AP=x,CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B.Р∵PC+PD=+,Р∴所求的最小值就是求PC+PD的最小值.Р作点C关于AB的对称点C′,过C′作C′E⊥DB,交DB延长线于点E.则C′E=AB=4,DE=2+1=3,Р∴C′D===5,Р∴所求代数式的最小值是5.Р第2题解图③
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