三角形四心

Р∴=半圆周Р∴EC是外接圆的直径,即CE过△ABC的外心。Р9.证明:如图,连结DG、DE、DF、EFР∵CF⊥AB于F,AD⊥BC于D,∴∠BFC+∠BDH=180ºР∴B、F、H、D四点共圆。Р∴∠2=∠3Р同理可证A、E、D、B四点共圆,∴∠1=∠3∴∠1=∠2Р同理可证∠4=∠5(注:∠4为∠EFC,∠5为∠CFD)Р∴∠HDG=∠1+∠EDG=∠2+∠4=∠2+∠5Р∵∠DHG=∠2+∠5,∴∠HDG=∠DHG∴HG=GDР∵∠HDC=90º∴∠GDC=∠GCDР∴GC=GD∴HG=GCР10.分析、连接PA、PB、PC及PM、PN。由已知易证△APC≌△APN,△BPC≌△BPM。从而△PC=PN,PC=PM,即PM=PN=PC。故P为△CMN的外心,此时有∠MPN=2∠MCN。Р而∠CAN=90º-∠A,∠BCM=90º-∠B,Р故∠ACN+∠BCM=180º-(∠A+∠B),即∠MCN+∠ACB=180º-(∠A+∠B),Р则∠MCN=(180º-∠ACB)-(∠A+∠B) = (∠A+∠B)。Р故∠MPN=2∠MCN=∠A+∠B。Р11.证明:如图,连结AG并延长交BC边于E,过点作EM⊥XY于MР∵⊥XY,EM⊥XY,⊥XY,Р∴∥ME∥Р∵E为BC中点,∴NE为梯形的中位线。Р∵2ME=+,∴G为△ABC的重心。Р∵AG=2GE,∴⊥XY。Р∵∥ME,∴=2ME∴=+Р12.证明:如图,连结BD、ID、CD、AIР∵D为△BIC的外心,Р∴DB=DI=DC,∴∠1=∠3,∠2=∠4。Р∵I为△ABC的内心,Р∴∠1+∠2=180º- (∠ABC+∠ACB)Р=180º-(90º-∠A)=90º+∠BACР∴∠BDC=360º-2(∠1+∠2)=360º-180º-∠BAC=180º-∠BACР∴∠BAC+∠BDC=180ºР∴A、B、C、D四点共圆。