017海南中考)抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(5,0).Р(1)求该抛物线所对应的函数解析式;Р(2)该抛物线与直线y=x+3相交于C,D两点,点P是抛物线上的动点且位于x轴下方,直线PM∥y轴,分别与x轴和直线CD交于点M,N.Р①连接PC,PD,如图①,在点P运动过程中,△PCD的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由;Р②连接PB,过点C作CQ⊥PM,垂足为点Q,如图②,是否存在点P,Q与△PBM相似?若存在,求出满足条件的点P的坐标;若不存在,说明理由.Р图①图②Р解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(5,0),Р∴解得Р∴该抛物线对应的函数解析式为y=x2-x+3;Р(2)①∵点P是抛物线上的动点且位于x轴下方,Р∴可设P(1<t<5),Р∵直线PM∥y轴,分别与x轴和直线CD交于点M,N,∴M(t,0),N,Р∴PN=t+3-=-+,Р图①Р联立直线CD与抛物线解析式可得Р解得或Р∴C(0,3),D,Р分别过点C,D作直线PN的垂线,垂足分别为点E,F,如图①,Р则CE=t,DF=7-t,Р∴S△PCD=S△PCN+S△PDN=PN·CE+PN·DF=PN=×Р=-+,Р∵-<0,Р∴当t=时,△PCD的面积有最大值,最大值为;Р②存在.Р图②Р∵∠CQN=∠PMB=90°,Р∴Q与△PBM相似时,有=或=两种情况,Р∵CQ⊥PM,垂足为点Q,Р∴Q(t,3),Р又∵C(0,3),N,Р∴CQ=t,NQ=t+3-3=t,∴=,Р∵P,M(t,0),B(5,0),Р∴BM=5-t,PM=0-=-t2+t-3,Р当=时,则PM=BM,即-t2+t-3=(5-t),解得t=2或t=5(舍去),此时P;Р当=时,则BM=PM,即5-t=,解得t=或t=5(舍去),此时P.Р综上所述,点P的坐标为或.
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