系数多项式的有理根Р Р多项式是代数学的基本研究对象之一,它不但与高次方程的讨论有关,而且进一步学习代数以及其他数学分支也都会碰到,是研究许多数学分支的工具.在多项式理论中,关于整系数多项式有理根的研究一直是人们感兴趣的问题.整系数多项式在多项式的研究中占有越来越重要的地位.Р 多项式的基本理论Р多项式理论是古典代数的主要内容,多项式的研究,源于“代数方程求解”,是最古老的数学问题之一.多项式理论是高等数学研究的基本对象之一,在整个高等代数课程中既相互独立又贯穿其他章节.换句话说,多项式理论的讨论可以不依赖于高等代数的其他内容而自成体系,却可为其他章节的内容提供范例与理论依据.Р1.1 多项式的定义Р定义1.1.1 设k是一个数域,x是一个文字,n是一个非负整数,,......形如的表达式成为数域k上的一个关于文字x的一元多项式(简称多项式),通常用,表示,其中称为i次项, 称为i次项系数.Р如果则称为首项,称为首项系数,n称为多项式的次数,多项式的次数记为或者;首项系数为1的多项式称为首一多项式;系数全为0的多项式称为零多项式,记为0,零多项式没有次数,数域k上的所有多项式的集合记为.两个多项式相等当且仅当他们的次数相等,且同次数的系数相等.Р1.2 多项式的运算Р设,是两个多项式,规定:Р加法.Р数乘其中.Р乘法设Р, Р定义,其中Р,.Р1.3 多项式的整除Р定义1.3.1 设,,如果存在,使,则称整除,记,此时称为的因式.,都是的因式,称为的平凡因式.Р例1 设能被整除,求.Р分析因为,故且,而由整除的传递性,知且,从而,,得到的方程组,解之即得.Р解因为,所以的两个根-1和2也是的根,得Р Р整理得解之得.Р性质1.3.1 零次多项式(非零常数)能整除任意多项式,即对,,有.Р性质 1.3.2 每一个多项式都能被整除,这里为非零常数.Р性质 1.3.3 若,,则.
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