运用二项式定理巧解数学问题论文

-1个元素的组合数。组合数计算方法:Р(8)、的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第n+1行中的每一项。Р2、应用Р性质6和性质7是杨辉三角的基本性质,是研究杨辉三角其他规律的基础。与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律,即二项式定理。Р例如,在杨辉三角中,第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数,即Р第4行的四个数恰好依次对应两数和的立方的展开式的每一项的系数即Р以此类推。Рn行的m个数可表示为,即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。因此可得出二项式定理的公式为:Р因此,二项式定理与杨辉三角形的联系非常密切。Р2.2用数学归纳法证明二项式定理Р当,Р假设二项展开式在  时成立。若,Р 将乘入Р 取出的项Р设Р Р取出项Р 两者加起Р 套用帕斯卡法则Р2.3二项式定理一般形式的证明Р通常二项式定理可以直接使用泰勒公式进行证明. 下面的方法不使用泰勒公式Р令Р. 注意只有当 时上述两个函数才收敛首先证明 收敛于1。Р之后易得满足微分方程: . 用求导的一般方法就能得到这个结论,再证明亦满足上述微分方程:Р Р Р Р于是 Р令, 由于和满足同样的微分方程, , 于是是一个常数, 即Р代入的情况, 证明Р二项式定理的应用Р3.1在计算题中的应用Р通项公式的运用Р运用通项公式可求二项式的指数,求满足条件的各项的项数,求展开式的某一项。在使用时要注意区分项和项数,系数的概念应与多项式中某一项的系数统一,在使用通项公式时应分清r与r+1 。Р Р(1) 用赋值法求部分项系数,二项式系数和Р例求与奇数项的系数和与偶数项的系数和。Р解:Р Р Р Р Р例若Р求Р解:Р 令,有Р 令,有Р 又因为:所以原式=Р Р(2) 求二项式的指数Р例已知的展开式的系数和比展开式的系数和小240Р求 m.Р解:因为的展开式的系数和为,Р又的展开式的系数和为