数列中公共项问题的研究

-1)( Sn+ Sn-1+2)=an( Sn+Sn-1+2),Р因为an>0,所以an2=Sn+Sn-1+2 (3)Р所以an-12=Sn-1+Sn-2+2(n≥3) (4) Р由(3)-(4)得an2-an-12=an+an-1,即an-an-1=1(n≥3),Р又a2-a1=1,所以an-an-1=1(n≥2).Р所以数列{an}是一个以2为首项,1为公差的等差数列.Р所以an=a1+(n-1)d=n+1.Р(3)Sn=,所以bn==,cn==.Р不妨设数列{bn}}中的第m项cm相同,则bn=cm.Р即=,即=.Р1o 若=≥,则n2+3n-18≤0,所以1≤n≤3,Рn=1时,=,无解;Рn=2时,=,即5·2m-5m-5=3·2m+3m+3,Р所以2m=4m+4,m=1,2,3,4时2m<4m+4;m≥5时,令f(m)=2m-4m-4,则f(m+1)-f(m)=2m-4>0,所以f(m)单调增,所以f(m)≥f(5)=8>0,所以2m=4m+4无解;Рn=3时=,即2m=2m+2,Рm=1,2时,2m<2m+2;Рm=3时,2m=2m+2;Рm=4时,2m>2m+2;Рm≥5时,2m>4m+4>2m+2.Р所以,m=3,n=3.Р2o 若=<,即2m<2m+2.Р由1°知,当m≥3时,2m≥2m+2。Р因此,当2m<2m+2时,m=1或2.Р当m=1时,=0无解,Р当m=2时,=无解.Р综上即在数列{bn}}中的项仅有b3=c3=.Р【说明】本题考查数列的综合运用. 第(2)问考查an与Sn的关系,体现数列中最重要的数学思想方法;第(3)问考查学生从函数和集合论的角度看数列,自觉研究数列性质的能力,{cn}单调递减趋向1,{dn}单调递增趋向2,}与{dn}的公共项只有可能在前面若干项中产生,经过列举可发现c3=d3=,所以可以为分界的数,}与{dn}的公共项.