们可以根据问题的要求把图形进行适当的分割,用这些分割成的图形作为抽屉,再对已知点进行分类,集中对某一个或几个抽屉进行进行讨论,使问题得到解决. 例2 [4]在边长为 2米的正方形内,任意放入 13个点.求证:必有.. 4个点, 以它们为顶点的四边形的面积不超过 1平方米. 9 (1)(2) 证明:把边长为 2米的正方形分割成面积为 1平方米的 4个小正方形,如图 1 .因为 13=3 ×4+1 ,所以由抽屉原理知,至少有 4 个点落在同一个面积为 1平方米的小正方形内(或边上),以这 4个点为顶点的四边形的面积总小于或等于小正方形的面积,即以这 4个点为顶点的四边形的面积不超过 1平方米. 注:此例是通过分割图形构造抽屉. 将正方形等分成 4 个矩形来制造抽屉也可以解决本题,如图 2. 2.1.3 利用“对称性”构造抽屉“对称性”是数学中常用的处理问题的一种方法.同样,在构造抽屉的过程中也可以利用“对称性”来解决问题,这种方法不易观察,需要不断的训练. 例3 [3] 九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为 2:3 的两个四边形.证明:这九条直线中至少有... 三条经过同一点. 证明:如图,设 CD 是一条这样的这样的直线. 我们再画出这两个梯形的中位线 AB ,因这两个梯形有相等的高,所以他们的面积比应等于对应的中位线长的比,即等于: AP PB (或者: BP PA )因为点 P 有确定的位置,它在正方形一对对边中点的连线上,并且: 2 3 AP PB ?: ,由几何上的对称性,这种点共有 4个,即图中的, , , P Q R S .已知的九条适合条件的分割直线中的每一条必须过, , , P Q R S 这4点中的一点.把, , , P Q R S 当成 4个抽屉, 9条直线当成 9个物体,即可看出必有 3 条分割直线经过同一个点.
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