变量代换求解常微分方程

换,是方程化为变量分离方程由上式即可求解。?7)对于方程,其中M,N为关于x,y的其次函数,做变量变换,化为变量分离方程由上式即可求解。8)对于Bernoulli方程,这里P(x),Q(x)为连续函数,为常数。当时用乘以原方程两边得作变量代换使方程化为线性微分方程,可求解。9)ati方程,当R(x)恒为零时,ati方程就是Bernoulli方程,可采用8)中的变换求解;当R(x)不为零时,若y(x)ati方程的一特解,作变量代换,使方程化为一个关于z的Bernoulli方程由上式即可求解。10)对于一阶非齐次线性微分方程,若Q(x)=0,则方程变为一阶齐次线性微分方程,有通解;若对原方程作变量变换,求得待定函数,代会变换,即得方程的通解。2变量代换法求解二阶微分方程1)对于二阶变系数齐次微分方程(1)设是方程(1)的一特解,变量变换,将方程化为一阶线性微分方程,可求解。2)对于二阶变系数线性非齐次微分方程(2)当方程(2)满足(为常数)时,作自变量代换(为常数)(3)则方程(3)可化为(4)方程(4)两边乘除以,得(5)由于所以,又为常数,由此可知,方程(2)可化为二阶常系数线性微分方程。3变量代换发求解三阶微分方程考虑三阶变系数齐次微分方程(6)当和时,可作变换,则方程(6)可化为(7)将和代入(7)得到常系数齐次微分方程考虑三阶变系数线性非齐次微分方程(8)其中,都是的已知连续函数,且二次可微,为常数。作自变量变换,则方程可化为(9)方程(9)两边同时除以得到三阶常系数线性微分方程4变量代换发求解n阶微分方程1)考虑n阶非齐次线性微分方程(10)设方程(10)对应的n阶齐次微分方程(11)通解为(12)作变量变换,令(13)为(10)的通解。求出特定函数,代入(13),即得(10)的通解。2)考虑常系数非齐次线性微分方程(14)这里是常数,。作变量变换,令,则方程可化为