,求对数时误差有多大?[解]因为(六位有效数字),,所以,。14、试用消元法解方程组,假定只有三位数计算,问结果是否可靠?[解]精确解为。当使用三位数运算时,得到,结果可靠。15、已知三角形面积,其中c为弧度,,且测量a,b,c的误差分别为,证明面积的误差满足。[解]因为,所以。第二章插值法(40-42)1、根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令,证明是n次多项式,它的根是,且。[证明]由可得求证。2、当时,,求的二次插值多项式。[解]。3、给出的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。X0.40.50.60.70.8-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144[解]若取,,则,,则,从而。若取,,,则,,,则,从而。4、给出的函数表,步长,若函数具有5位有效数字,研究用线性插值求近似值时的总误差界。[解]设插值节点为,对应的值为,函数表值为,则由题意可知,,,近似线性插值多项式为,所以总误差为,从而。5、设,求。[解]。令,则,从而极值点可能为,又因为,,显然,所以。6、设为互异节点,求证:1);2);[解]1)因为左侧是的n阶拉格朗日多项式,所以求证成立。2)设,则左侧是的n阶拉格朗日多项式,令,即得求证。7、设且,求证。[解]见补充题3,其中取即得。8、在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函数表的步长h应取多少?[解]由题意可知,设x使用节点,,进行二次插值,则插值余项为,令,则,从而的极值点为,故,而,要使其不超过,则有,即。9、若,求及。[解]。。10、如果是m次多项式,记,证明的k阶差分是次多项式,并且(l为正整数)。[证明]对k使用数学归纳法可证。11、证明。[证明]。12、证明。[证明]因为,故得证。13、证明:。[证明]。14、若有n个不同实根,证明。[证明]由题意可设,故
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