直线显然与z轴垂直相交,而其方程为X-acostcost=Y-bsintsint=Z-bt0这正是主法线的方程,故主法线和z轴垂直相交。证毕4.在曲线r={cosαcost,cosαsint,tsinα}的副法线的正向取单位长,求其端点组成的新曲线的密切平面。解:令a=cosα,b=sinα,则曲线的方程可表示为:C1:r={acost,asint,bt},a2+b2=1设C1的副法线向量为γ,则有γ=r'×r"|r'×r"|=1a2+b2bsint,-bcost,a=bsint,-bcost,a根据题意,新曲线的方程可表示为C2:ρ=r+γ={acost+bsint,asint-bcost,a+bt}将a=cosα,b=sinα代入上式,整理后,得C2:ρ={cost-α,sint-α,(sinα)t+cosα}ρ'={-sint-α,cost-α,sinα}ρ"={-cost-α,-sint-α,0}ρ'×ρ"={sinαsint-α,-sinαcost-α,1}于是新曲线C2的密切平面为:sinαsint-α[X-cos(t-α)]-sinαcost-α[Y-sinα]+Z-(sinα)t-cosα=0即:sinαsint-αX-sinαcost-αY+Z=(sinα)t+cosα5.证明球面曲线的法平面通过球的中心。证:设曲线(C):r=r(s)为球心在原点,半径为a的球面上的曲线,其中s为自然参数。曲线(C)上任意一点P(P点的向径为r)处的基本向量为α,β,γ。则有1r2=a2上式两边关于s求导,得2rα=0设ρ为法平面上的点的向径,则曲线(C)上任意一点P处的法平面的向量方程为3α∙ρ-r=0根据(2)式ρ=0满足方程(3),故法平面过原点。证毕6.证明过原点平行于圆柱螺线r={acost,asint,bt}的副法线的直线的轨迹是锥面a2x2+y2=b2z2。
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