数值分析习题答案

==11jР(1) 试统计需要用多少次乘法和加法才能计算出该和式的值; Р(2) 为了减少计算工作量,将和式作等价变换,变换后需要多少次乘法和加法。Р解(1)所用乘法次数:1+2+3+⋯⋯+n = n( n+ 1) / 2, Р2Р加法次数:[0+1+2+⋯⋯+ (n – 1)]+( n – 1) = ( n + 2 ) ( n – 1) / 2; Р n iР ( )将和式等价变形为:Р 2 ∑∑[ai b j ] Р i==11jР 所用乘法为 n 次,加法次数不变,仍为( n + 2 ) ( n – 1) / 2。Р11 试构造一个算法,对输入的数据 x0,x1,x2,⋯⋯,xn,以及 x(均为实数),算法输出Р为( x –x0) ( x –x1) ( x –x2)⋯⋯( x –xn) 的计算结果。Р解算法如下: Р 第一步:输入 x;x0,x1,x2,⋯⋯,xn,M Å (x – x0 );k Å 0; Р 第二步:M Å M×(x – x0 );k Å k+1; Р 第三步:判断,若 k ≤ n,则转第二步;否则输出 M,结束。Р π 1 1 1Р12 利用级数公式= 1−+ −+ 可计算出无理数π的近似值。由于交错级数的部Р 4 3 5 7 LР分和数列 Sn 在其极限值上下摆动,故截断误差将小于第一个被舍去的项的绝对值| an+1|。Р试分析,为了得到级数的三位有效数字近似值,应取多少项求和。Р解由部分和Р nР k −1 1Р S n = ∑(−1) Р k =1 2k −1Р知,截断误差满足Р π 1Р | S −|≤Р n 4 2n +1Р显然,为了得到三位有效数字的近似值,绝对误差限应该为 0.0005 = 5×10-4。只需令Р 1 5 1Р ≤= Р 2n +1 10000 2000Р所以,当 n≥1000 时,部分和至少有三位有效数字。Р Р 3