泰勒公式-word资料(精)

(1) 计算 e 的值,使其误差不超过 610 ?; (2) 证明数 e 为无理数. 解(1) 由例 5 公式(1) ,当1?x 时有).10( )!1(! 1!3 1!2 111????????????n en e?(9) 故)!1( 3 )!1( )1(????nn eR n ?,当9?n 时,便有 6 910 3628800 3!10 3)1( ????R . 从而略去)1( 9R 而求得 e 的近似值为.718285 .2!9 1!3 1!2 111???????? e (2) 由(9) 式得.1 )14.3!!(!????????n ennnnen ???( 10) 倘若q pe?(qp, 为正整数) ,则当 qn?时,n!e 为正整数,从而(10) 式左边为口整数. 因为1 311?????nn en e ?, 所以2?n 时右边为非整数, 矛盾. 从而 e 只能是无理数. 例7 用泰勒多项式逼近正弦函数 x sin (例5 中的(2) 式), 要求误差不超过 310 ?. 试以 1?m 和2?m 两种情形分别讨论: x 的取值范围. (i)1?m 时,xx? sin ,使其误差满足泰勒公式 8 3 33210 6!3 cos )( ???? xx xxR ?. 只须1817 .0?x ( 弧度), 即大约在原点左右 044210 ????范围内以 x 近似 sinx , 其误差不超过 310 ?. ( ii)2?m 时,6 sin 3xxx??,使其误差满足: .10 !5 |||!5 cos ||)(| 3 554 ???? xx xxR ?只需,6543 .0||?x ( 弧度), 即大约在原点左右 839237 ????范围内, 上述三次多项式逼近的误差不超过 310 ?. 如果进一步用更高次的多项式来逼近 x sin ,x 能在更大范围内满足同一误差.