开普勒三定律的数学证明

图2[2]Р， 如图3Р因为，所以：РР化简得：РР又因为，所以：Р Р图3[2]Р与轴夹角为，根据开普勒第一定律得：РР因为，Р所以：Р Р所以开普勒第三定律指出周期的立方和行星与太阳间距的平方成正比。Р第6页，共10页РРРРРР4 开普勒第一定律证明Р图4[2]Р令为时刻行星的位失，为行星和太阳的距离，所以为时刻行星的极坐标。令Р，得：Р Р所以：РР Р因为行星受万有引力方向与其位置方向相反。所以：Р Р令，得：Р第7页，共10页РРРР将代入,当时，且成立，可证：Р为任意值时都有 Р令，根据：РР两边同时对进行积分得：Р Р令，代入得：РР Р对分离变量并积分得：РР第8页，共10页РРРРР最后，我们得到关于的函数：РР所以为行星绕太阳椭圆轨道的离心率。РРР参考文献Р[1] 李敏君, 邱荒逸. 用矢量法证明开普勒三定律[ J]. 高师理科学刊, 2000, 20 (4 ): 49- 52.Р[2] [美]Dale Varberg, Edwin J. Purcell, Steven E. Rigdon. 微积分[ M]. 北京: 机械工业出版社, 2009.585- 588.Р第9页，共10页