一个根,得证.通常认为这是代数基本定理第一个严格的证明.不过就现代的标准来看其证明仍然是不够严格的.而现在,据说已有两百多种证法.Р接下来,我们讨论的是代数基本定理的证明.Р代数基本定理的证明Р利用多项式证明Р引理Р在这里先介绍一条引理.设Р是实系数多项式,(且,C为复数域),则Р的充要条件是:Р.[Р]Р引理显然成立,下面证明代数基本定理.Р利用多项式证明代数基本定理Р设Р是实数域上的n次多项式,则f(x)在复数域上至少有一根. Р证明:如果x=0是f(x)的根,则定理得证.如果x=0不是f(x)的根,则必有≠0, 因此只需要证明方程Р (1)Р关于x有非零解。Р由引理可得,当x≠0时,方程(1)与Р (2)Р等价.对方程(2)中分别另Рm=0,1,2,··· ,n-1,Р可得如下方程组:Р Р (3) Р当x≠0时,方程组(3)和方程(1)同解,又方程组(3)可写成:Р (4)Р这是关于变量的齐次线性方程组,其系数行列式是(2n)*(2n)阶行列式.因为Р,Р故(4)有非零解,又1,0,···,0不是(4)的解,所以(4)有异于1,0,···,0的解,因此方程(1)有非零解.即f(x)在C上至少有一非零根.定理得证.Р利用柯西积分定理证明Р柯西积分定理Р设C是z平面上单连通区域D内的任意一条周线,函数f(z)在D内解析,则Р.Р这便是柯西积分定理.[Р]Р在附加假设“D内连续”的条件下黎曼得到了一个简单的证明:令,Р则Р,Р而在D内连续,导致ux,uy,vx,vy在D内连续,并适合C.-R.方程:Рux=vy,uy=—vx.Р由格林定理,Р,Р故得Р.Р利用柯西积分定理证明代数基本定理Р任何次数n>=1的复系数多项式Р在复系数域中至少有一个根.Р证明:(反证法)设多项式Р若f(z)没有零点,则在整个复平面上解析.所以对任意充分大的R>0,.Р由柯西积分定理得:Р,Р从而
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