点之间变化很小,有关分段分布的细节就不那么重要了。? 相应于一个已知的微分方程,离散化方程的形式决不是唯一的,这起因于分布假设以及推导方法的不同。? 网格节点数非常多的极限条件下,所有可能类型的离散化方程将会给出相同的解。Р2. 离散化方法Р常见的方法主要有:有限差分法和有限元法。Р两种方法的区别来自于选择分布和推导离散化方程的方法不同。? 本书主要关注的方法具有有限差分的外形,但它采用了典型的有限元方法所具有的思想,把此方法叫有限差分法可能在于它坚持遵守习惯的有限差分法做法。Р§3.2 推导离散化方程的方法Р对于一个已知的微分方程,可以用许多方法推导出所要求的离散化方程。Р§3.2-1 泰勒级数公式Р1. 定义:在有限差分法中,通过把控制方程中的各阶导数用相应的差分表达式来代替而形成离散方程。各阶导数的差分表达式可由泰勒级数展开而得,把这种建立离散方程的方法称为泰勒级数展开法。Р2. 差分方程式的建立:Рi-2Рi-1РiРi+1Рi+2РxРhР节点i 两侧分别有i-2, i-1, i+1, i+2,各节点间距都为h, 用泰勒级数展开有:Р取左端及右端的前三项,并进行相加或相减,便可得中心差分的近似式:Р剩余项的最低阶导数前系数的次数Р用同样的方法可以得到略去截断误差O(h) 的差分计算式:Р为了提高精度,可以得到截断误差更高阶的差分表达式。Р3. 几点说明Р①.差分表达式分子项系数的代数和为零;?②.各阶导数差分表达式的量纲必须与导数的量纲一致,因? 而,一阶导数各个差分表达式的分母为x,二阶为( x )2 ;?③. 给出一个差分表达式时,必须指明是对哪个点建立的,同样? 的节点数,不同的建格式的点,导致不同的截断误差,如Р对i 点只有一阶截差,但对i+1 点则是二阶导数具有二阶截差的表达式。Р4. 优缺点:推导比较直截了当,但其中各项的物理意义难以? 理解。
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