第四节线性方程组的解第三章矩阵的初等变换与线性方程组小结思考题作业㈠线性方程组的解的判定条件㈡矩阵方程AmnXns=Bms目录上页下页㈠线性方程组的解的判定条件上页下页目录【非齐次线性方程组Am×nx=b】用初等行变换,将Am×nx=b的增广矩阵(A,b)化为行阶梯形(C,d),即于是,R(A)=C的非零行行数,R(A,b)=(C,d)的非零行行数;并且,Ax=b和Cx=d是同解方程组.设行阶梯形(C,d)中的C有r个非零行,如下图所示上页下页目录第r+1行r个非零行dr+1=0Ax=b有解上页下页目录dr+1=0,且r=nAx=b有唯一解n个非零行此时,行阶梯形矩阵的形式为上页下页目录dr+1=0,且r<nAx=b有无穷多解r个非零行(r<n)此时,行阶梯形矩阵的形式为上页下页目录定理1对于非齐次线性方程组Amnx=b,①有解的充分必要条件:③有无穷多解的充分必要条件:②有唯一解的充分必要条件:综合上述,有如下定理:(等价命题)无解的充分必要条件:注n是系数矩阵A的列数(即未知量的个数).注由于R(A)R(A,b),故R(A)R(A,b)R(A)<R(A,b).上页下页目录例1对于非齐次线性方程组解问取何值时,方程组无解、有唯一解、有无穷多解?有无穷多解时,求其通解.上页下页目录先考虑它们不等于0时的取值,再讨论的其它取值.上页下页目录①当时,方程组有唯一解.②当时,代入上式方程组无解.
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