极限定理§1.1概率空间一、随机事件的公理化定义回顾初等概率论中引进古典概率、几何概率等定义,有如下问题:对于随机试验E的样本空间Ω,是否Ω的每一个子集(事件)都能确定概率?定义(σ代数):设随机试验E的样本空间为Ω,F是Ω的子集组成的集族,满足(1)Ω∈F;(2)若A∈F,则.(对逆运算封闭)(3)若则(对可列并运算封闭)称F为Ω的一个σ-代数(事件体),F中的集合称为事件.F的定义给出了事件间类似于代数学中的代数结构.Ex1:在编号为1,2,…,n的n个元件中取一件,1.考虑元件的编号,则全体基本事件为样本空间为构造如下事件:………可验证集族组成一个σ代数.2.仅考虑元件是正品或次品,则基本事件为A1={取到正品},A2={取到次品}则为一个σ代数.Ex.2测量一个零件,考虑其测量结果与实际长度的误差.基本事件为{x},样本空间为则R1的子集全体:,单点集{x},一切开的,闭的,半开半闭区间等组成的集族F是一个代数.另外,令={出现正误差}={出现负误差}则为一个σ代数.注:对同一研究对象的同一试验,试验目的不同,其样本空间和代数的结构会不同.定义(可测空间):样本空间Ω和σ代数的二元体(Ω,F)称为可测空间.可测空间有如下性质:1.2.对可列交运算封闭,若则有证3.对有限并,有限交封闭:若则4.对差运算封闭,即若则.二、概率的公理化定义柯氏公理体系是现代概率论的基石.定义(概率):设(Ω,F)是一可测空间,对定义在F上的实值集函数P(A),满足1)非负性:对2)规范性:P(Ω)=1;3)完全可加性,对有称P是(Ω,F)上的概率(测度),P(A)是事件A的概率.三元体(Ω,F,P)称为概率空间.Ex:设某路口到达的车辆数为m,基本事件为{m},样本空间F是Ω的一切子集组成的集族,则F是一个σ代数.定义P(φ)=0,并对A∈F令证明P为可测空间(Ω,F)上的概率.证:1)
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