是独立的。由于的三个列矢量和都是单位矢量,且双双相互垂直,因而它的9个元素满足6个约束条件(正交条件):可见,旋转矩阵是正交的,并且满足条件:式中,上标T表示转置;||为行列式符号。5.1工业机器人运动学--位置与姿态表示对应于轴y,x,或z作转角为的旋转变换,其旋转矩阵分别为:式中,s表示sin,c表示cos。以后将一律采用此约定。下图表示一物体(这里为抓手)的方位。此物体与坐标系{B}固接,并相对于参考坐标系{A}运动。5.1工业机器人运动学--位置与姿态表示3、位姿描述相对参考系{A},坐标系{B}的原点位置和坐标轴的方位,分别由位置矢量(PositionVector)和旋转矩阵(RotationMatrix)描述。这样,刚体的位姿(位置和姿态)可由坐标系{B}来描述,即当表示位置时,式中的旋转矩阵ABR=I(单位矩阵);当表示方位时,式(5.9)中的位置矢量=0。5.1.2坐标系映射5.1工业机器人运动学--坐标系映射空间中任意点p在不同坐标系中的描述是不同的。为了阐明从一个坐标系的描述到另一个坐标系的描述关系,需要讨论这种变换的数学问题。1.平移坐标变换5.1工业机器人运动学--坐标系映射2.旋转坐标变换3.复合变换5.1工业机器人运动学--坐标系映射4.齐次坐标变换已知一直角坐标系中的某点坐标,则该点在另一直角坐标系中的坐标可通过齐次坐标变换求得。所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。一个向量的齐次表示是不唯一的,比如齐次坐标[8,4,2]、[4,2,1]表示的都是二维点[2,1]。齐次坐标提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。变换式对于点而言是非齐次的,但是可以将其表示成等价的齐次变换形式:其中,4×1的列向量表示三维空间的点,称为点的齐次坐标,仍然记为和。可把上式写成矩阵形式:
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