对称变换和对称矩阵（PPT课件）

氏空间V的一个线性变换.若对(向量) , V,等式?<(), > = <, ()>? 成立,则称是一个对称变换.? (先考察对称变换在正交基之下矩阵的形状)? 定理8.4.1 设是 n 维欧式空间V的一个对称交换.1, 2, ..., n 是 V 的任意一个规范正交基.A = (aij) 是关于这个基的矩阵,则 A= A,其中A表示A的转置.Р§8.4 对称变换和对称矩阵Р其中,是对称变换,且1, 2, ..., n 是一个规范正交基,所以Р§8.4 对称变换和对称矩阵Р设 A 是某一数域 F 上的 n 阶矩阵.? 若 A 与它的转置 A相等,则称 A 为一个对称矩阵.? 定理8.4.1表明:n维欧氏空间的对称变换关于任意规范正交基的矩阵是一个实对称矩阵,反之亦然:? 定理8.4.2 设是 n 维欧氏空间 V 的一个线性变换.若关于一个规范正交基的矩阵是对称矩阵,则是一个对称变换.Р§8.4 对称变换和对称矩阵Р证设关于V的一个规范正交基1, 2, ..., n 的矩阵 A = (aij) 是对称的.令Р是V的任意向量,那么Р§8.4 对称变换和对称矩阵Р∵ aji = aij, ? ∴<(), > = <, ()>,?即是一个对称变换. ? 还将证明,对称变换有一组本征向量构成 V 的一个规范正交基.先证对称变换的几个基本性质.? 定理8.4.3 实对称矩阵的特征根都是实数.Р§8.4 对称变换和对称矩阵Р证设 A = (aij) 是一个n阶实对称矩阵,是 A 在复数域内的一个特征根.? ∴不全为零的复数 c1, c2, ..., cn 使得Р令ci 表示 ci 的共轭复数,用矩阵Р左乘(2) 式的两边,得:Р§8.4 对称变换和对称矩阵Р等式(3) 两边取共轭复数,而 aij 都是实数,故