题的一种.Р记作,Р本章讨论的函数逼近,是指“对函数类中给定的函数Р中求函数,Р使与的误差在某种度量Р要在另一类简单的便于计算的函数类Р意义下最小”.Р函数类通常是区间上的连续函数,记作,Р称为连续函数空间.Р3Р函数类通常为次多项式,有理函数或分段低次多项?式等.Р数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为Р赋予集合以某种空间结构,并将这样的集合称为空间.Р与数的乘法构成实数域上的线性空间,Р例如将所有实维向量组成的集合,按向量加法及向量Р称为维Р记作,Р向量空间.Р4Р类似地, 记为具有阶连续导数的函数空间.Р记作.Р所有定义在上的连续函数集合,按函数加法和Р数与函数乘法构成数域上的线性空间,Р按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域Р称为多项式空间.Р用表示,Р上一个线性空间,Р对次数不超过( 为正整数)的实系数多项式全体,Р5Р定义1Р设集合是数域上的线性空间,元素Р如果存在不全为零的数,Р(1.1)Р则称线性相关.Р否则,若等式(1.1)只对成立,Р则称线性无关.Р使得Р6Р系数称为在基Р并称空间为维空间,Р若线性空间是由个线性无关元素生成的,Р即对都有Р则称为空间的一组基,Р记为Р下的坐标,Р记作Р如果中有无限个线性无关元素则称Р为无限维线性空间.Р7Р(1.2)Р它由个系数唯一确定.Р考察次数不超过次的多项式集合,Р它是的一组基,Р是线性无关的,Р且是的坐标向量, 是维的.Р表示为Р其元素Р故Р8Р使误差Р对连续函数,它不能用有限个线性无关的Р函数表示,故是无限维的,但它的任一元素Р均可用有限维的逼近,Р( 为任给的小正数),Р这就是著名的魏尔斯特拉斯定理.Р9Р使Р定理1Р总存在一Р设,Р则对任何,Р个代数多项式,Р在上一致成立.Р伯恩斯坦1912年给出的证明是一种构造性证明.Р他根据函数整体逼近的特性构造出伯恩斯坦多项式Р(1.3)Р10
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