Weierstrass 第一逼近定理与第二逼近定理

k =1Р 1 nР cos21nk+ kcos(2 2 1)x。Р =−2n ∑ 21n+ + Р 2 k =0Р可知 PxTx(cos )= ( ) 是余弦三角多项式。Р 3Р推论设 gx()是以 2π为周期的连续偶函数,则 Weierstrass 第二Р逼近定理成立,且三角多项式是余弦三角多项式。Р Р Weierstrass 第二逼近定理的证明Р 设 xf )( 是以 2π为周期的连续函数,令Р ϕ+= −xfxfx )()()( ,ψ= −− sin)]()([)( xxfxfx , Р则ϕ x)( 与ψ x)( 都是以 2π为周期的连续偶函数,由上面的推论,可知对Р任意给定的ε> 0,存在余弦三角多项式 1 xT )( 与2 xT )( ,使得Р εεР ϕ xTx |)()(| <−, ψ xTx |)()(| <−Р 1 2 2 2Р对一切x∈−∞+∞(,) 成立。Р 2Р 记 3 = 1 + 2 sin)(sin)()( xxTxxTxT ,于是由Р εεР ϕ 2 − 2 xxTxx |sin)(sin)(| < , ψ− xxTxx |sin)(sin)(| < , Р 1 2 2 2Р 得到Р 2Р 3 xTxxf |)(sin)(2| <−ε(*) Р πР 对一切 x∈−∞+∞(,)成立。由于上式对(tf −) 也成立,于是也有Р 2Р πР (2| 2 tTttf |)(sin) <−−ε。Р 2 4Р πР 令 tx −= ,得到Р 2Р πР 2 (cos)(2| xTxxf |) <+−ε(**) Р 4 2Р对一切 x −∞∈∞),( 成立。Р 1 πР 记)( ()([ xTxTxT ++= )] ,结合(*)与(**),得到Р 5 2 3 4 2Р − 5 xTxf |)()(| < εР对一切 x −∞∈∞),( 成立。Р Р 4