AB-1,A-1BA等都是正交矩阵;Р3 (1)设A,B为正交矩阵,且|A|=-|B|,则A+B必不可逆;Р(2)设为A,B奇数阶正交矩阵,且|A|=|B|,则必A-B不可逆.Р2.2 幂零矩阵Р2.2.1概念令A为阶方阵,若存在正整数,使,A称为幂零矩阵。若A为幂零矩阵,满足Р的最小正整数称为A的幂零指数Р Р2.2.2性质Р 1.A为幂零矩阵的充分必要条件是A的特征值全为0.Р 2.若A为幂零矩阵,B为任意的阶矩阵且有,则也为幂零矩阵Р 3.若A为幂零矩阵,则A一定不可逆但有.Р 4.A为幂零矩阵的充分必要条件为.Р 5.若A为幂零矩阵,则A的若当标准形J的若当块为幂零若当块,且J和主对角线上的元素为0Р 6.若A为幂零矩阵且,则有.Р2.3 对称矩阵Р2.3.1概念如果有n阶矩阵A,其各个元素都为实数,矩阵A的转置等于其本身(AT = A) ,则称A为实对称矩阵Р2.3.2性质Р 1.特征值为实数;Р 2.属于不同特征值的特征向量正交;Р 3.特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等;Р 4.必存在正交矩阵,将其化为对角矩阵,且对角矩阵对角元素即为特征值.Р2.4 三对角矩阵Р2.4.1概念:若矩阵的非零项位于由主对角线及其之上的一条对角线与其之下的一条对角线组成的带内,如下式Р Р那么称为三对角矩阵,此时有.Р第三章矩阵特征值得求法与应用Р3.1一般矩阵的求法与应用Р3.1.1 一般矩阵特征值的求法Р概念 1设是数域上的一个阶方阵,若存在一个数以及一个非零维列向量,使得Р Р则称是矩阵的一个特征值,向量称为矩阵关于特征值的特征向量.Р现在我们给出寻找特征值与特征向量的方法, 设是数域上维线性空间, 是它们的一组基, 线性变换就是在这组基下的矩阵是. 设是特征值,它的一个特征向量在下的坐标是. 则由, 这说明特征向量的坐标满足齐次次方程组Р即Р (1.1)
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