§1 可微性与偏导数Р本节首先讨论二元函数的可微性, 这是多元函数微分学的基本概念. 然后给出二元函数对单个自变量的变化率, 即偏导数. 偏导数无论在理论上或应用上都起着关键作用.Р一、可微性与全微分?二、偏导数?三、可微性条件?四、可微性的几何意义及应用Р一、可微性与全微分Р定义 1 设函数Р内有定Р义.对于Р内的点Р若Рf 在点Р的全增量Р(1)Р其中A,B是仅与点Р有关的常数,Р的高阶无穷小量, 则称 f 在点Р可微.Р并称(1) 式中关于Р由(1), (2) 可见,当Р充分小时, 全微分Р这里Р(4)Р(2)Р为Р的全微分, 记作Р可作为全增量Р的近似值, 于是有:Р在使用上, 有时也把(1) 式写成如下形式:Р(3)Р例1 考察Р解 f 在点Р处的全增量为Р由于Р二、偏导数Р由一元函数微分学知道: 若Р则增量Р现在来讨论: 当二元函数Р在点Р可微Р时, (1) 式中的常数 A, B 应取怎样的值?Р为此, 在(4) 式中令Р(5)Р容易看出, (5) 式右边的极限正是关于 x 的一元函数Р类似地,Р又可得到Р(6)Р它是关于 y 的一元函数Р二元函数当固定其中一个自变量时, 它对另一个自Р变量的导数称为该函数的偏导数, 一般定义如下:Р则当极限Р存在时, 称此极限为Р关于x 的偏导数,Р记作Р定义 2Р(7)Р类似地可定义Р关于 y 的偏导数:Р记作Р注1Р注2 在上述定义中,Р存在对 x (或 y)Р显然,在定义域的内点处总能满足这种要求,而在Р界点处则往往无法考虑偏导数.Р若函数Р在区域 D 上每一点Р都存在Р对 x ( 或对y ) 的偏导数, 则得到Р在 D 上Р对 x (或对y) 的偏导函数(也简称偏导数), 记作Р偏导数的几何意义:Р的几何图象通常是Р三维空间中的曲面, 设Р为此曲面上一Р点, 其中Р曲面相交得一曲线:
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