. 0, ? ????? ?设 若对于任意定义 2?定义 2″若存在各项互异的收敛数列,}{Sx n?. lim 的一个聚点称为那么极限 Sx nn????下面简单叙述一下这三个定义的等价性. 若设 S 是[0, 1]中的无理数全体,则S的聚点集合( ; ) , . U S S ? ? ?????那么称是的一个聚点为闭区间[0, 1]. 返回返回返回后页后页后页前页前页前页定义 2 ?定义 2?由定义直接得到.定义 2??定义 2?因为 0, ( ; ) 0, U S ? ???? ? ??那么 1 1 1, ( ;1) ; x U S ? ?? ????取?? 2 1 2 2 min 1/ 2, , ( ; ) ; x x U S ? ???? ?????取; ??. ???? 1 min 1/ , , ( ; ) ; n n n n n x x U S ? ????? ?????取返回返回返回后页后页后页前页前页前页{ } . , { } n n n x S x ??这样就得到一列由的取法两两, 10n x nn?????? lim . nnx????由此互异,并且定义 2 ??定义 2由极限的定义可知这是显然的. 定理 7.2 (魏尔斯特拉斯 Weierstrass 聚点定理) 实数轴上的任意有界无限点集 S 必有聚点.
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