反例设,Р显然在处可导,但在处不连续.Р6、设实系数多项式序列在上一致收敛于实值函数,证明:也是多项式。Р证明因为实系数多项式序列在上一致收敛于实值函数,Р所以对任意,存在,使得当时,有,Р又因为也是多项式,若不为常数,则当趋于无穷时,也趋于无穷,矛盾。所以,其中为一无穷小序列。Р 由上面结论及是多项式,可知当时,Р,Р其中为某一固定的多项式,为某一收敛数(因为为柯西列)Р因为由已知条件Р,Р一致收敛于0,及,Р所以有,即也是多项式,结论得证。Р二.1.解Р,Р Р ,Р当时,,Р当时,.Р解Р .Р解设,则,Р利用高斯公式,则有Р Р .Р三.1.证明设,,Р,Р显然在上连续,为有界闭集,在上达到最大值,Р设在处达到最大值,Р令,Р,Р,Р,Р令,Р在处取到条件极值,必是的驻点,Р即得满足,Р曲面在的法线方向为,Р所以直线是在点处的法线.Р证明由,即得,Р表及里所以在处连续,Р对任意方向,,Р,Р存在,Р显然,,Р当,时,Р的极限不存在,Р所以在处不可微.Р证明因为函数的值域为开区间,Р所以在上具有介值性质,Р又在上单调,Р可以得到在上连续,Р由在上单调有界,所以,存在且有限,Р从而知在上一致连续.Р证明用反证法Р假若数列有界,存在,使得,Р由条件知,Р对,存在正整数,当时,Р有,,Р令,,Р则有,,Р于是有,从而显然有,Р这与矛盾,所以数列无界.Р设在区间上连续有界,且对某个,对所有,Р有,Р试证:存在数列,,使得。Р证明,Р依题设条件,可得必有或,Р不妨设,Р 我们断定,,对于任意大的,不可能对所有,恒有,Р否则由Р,Р,Р这与的有界性矛盾,Р所以任取,存在,使得,所以Р ,Р结论得证。Р注:。Р 6、设函数在区间上Riemann可积,且.Р试证明:存在闭区间,使得当时,.Р证明:反证法,假设对任意区间,都存,使,Р任意分割,都存在,使得,Р于是,Р与题设条件,矛盾.
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