连续时间下金融资产定价预备知识

t dS????)( t ttdB dtSdS???? n nnSS ???????1n n nSS ??????? log log 1随机分析概要?随机分析是建立在布朗运动理论的基础上的。出发点是 Ito 过程,它是算术布朗运动的一般化。它可理解为一个确定性的变化受到一个随机干扰。?最重要的随机分析公式为 Ito ( 复合求导) 公式: 布朗运动与鞅?布朗运动是鞅(但算术布朗运动与几何布朗运动当“漂移”不为零时不是鞅)。?也是鞅,它称为“平方鞅”。?也是鞅,它称为“指数鞅”。?对于金融学来说,最重要的是指数鞅。 Black-Scholes 模型?无风险证券(价格作指数增长): ?风险证券 (价格遵循几何布朗运动): ?证券的折现价格 (平均收益率不相等时,仍然是几何布朗运动): Girsanov 定理导得的鞅测度? Girsanov 定理断定,一定存在抹去“漂移”项的等价概率鞅测度。?有了等价概率鞅测度以后,求当前价格就变为求积分问题。由此可导得 Black- Scholes 期权定价公式。?一、微积分的基本定理?如果 dX(t) 表示 X(t) 的微小变化,初始值 X(0)=0 ,则第一节伊藤积分)()( 0tXudX t???在金融市场上,用微分方程代表某一金融资产价格的动态变化行为: ?对上式两边进行积分,得到: 二、伊藤积分 0 t ),(),(),()( ???tdW tSdttSatdS t t?????? tu u tu tudW uSdu uSadS 0 0 0 ),(),(??定义积分: ?这就是伊藤积分,当?t趋于 0时, 的积分过程近似为: ??????????? ttuu ttu ttudW uSdu uSadS 0 0 0 ),(),(????ttuudW uS 0),(? tt ttuudW tSdW uS),(),( 0??????