行存款本金和利息的计算公式完全相同。为本金; 为银行存款利率; 为存款年限; 为年后的本金和利息。为了数学处理上的方便,我们采用连续复利形式,则模型(16-1)变为:? (16-2)?从公式(16-2)中我们可以看出,当股票的价格波动为零时,股票价格的期望值以年利率为的复利形式增长,与银行存款有相同的增长方式。Р由此可见,用公式(16-2)表示t时刻股票价格的期望值是合理的。把式(16-2)两边同除以,并取对数得到:? (16-3)Р其中是持股年的对数收益率,而不是年收益率,年收益率为。?假设是单位时间内股票对数收益率的方差,则为年内收益率的方差。只有在公式(16-3)中加入随机项,才能真实全面地反映股票价格的变化。Р通过上面的分析,股票价格过程可以用下列形式的随机过程来描述? (16-4)?或? (16-5)?其中: 为测度下的标准维纳(Wiener)过程, 。? (16-6)?其中: 为标准正态分布变量, 。Р公式(16-5)两边同除以,并取对数得到:? (16-7)Р对数收益率服从下列形式的正态分布? (16-9)Р方程(16-5)是描述股票价格变化的合理模型。Р16.3 无套利机会股票价格模型Р一般情况下,国库券以政府为担保,价格受随机因素的影响较少,波动也较少,因此,买国库券属于无风险投资。而股票的价格受随机因素的影响较大,波动也较大,因此,买股票属于风险投资。单位国库券的价格和股票的价格分别用下列模型表示:? (16-10)Р (16-11)?其中: 为时刻单位国债的价格; 为时刻股票的价格,元/股; 为零时刻股票的价格,元/股; 为国债利率,又称为无风险利率;Р对股票价格贴现后得到时刻股票价格的现值:Р即? (16-12)?其中:随机变量零时刻的值等于随机变量零时刻的值,即。?下面推导式(16-12)的微分形式。我们可以把式(16-12)写成下列形式:Р其中:
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