-赛德尔法的迭代矩阵Р,Р故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是。Р9 设求解方程组的雅可比迭代格式为,其中,求证:若,则相应的高斯-赛德尔法收敛。Р证明由于是雅可比法的迭代矩阵,故Р 又,故,Р即,故故系数矩阵A按行严格对角占优,从而高斯-赛德尔法收敛。Р10 设A为对称正定矩阵,考虑迭代格式Р求证:(1)对任意初始向量, 收敛;Р (2)收敛到的解。Р证明(1)所给格式可化为Р这里存在是因为,由A对称正定,,故也对称正定。Р设迭代矩阵的特征值为,为相应的特征向量,则与做内积,有Р因正定,故,从而,格式收敛。Р(2) 设收敛到,则即,Р即收敛到的解。Р三Р1 设且.求证:Р证明以和为插值节点建立的不超过一次的插值多项式Р应用插值余项公式有Р Р2 求一个次数不高于4次的多项式,使它满足.Р解法一(待定参数法) 满足的Hermite插值多项式为Р设,令得Р于是Р解法二(带重节点的Newton插值法) 建立如下差商表Р这样可以写出Newton插值公式Р Р3 设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处与的值,并估计误差.Р解步长,.在区间上的线性插值函数Р Р分段线性插值函数定义如下Р, Р各区间中点的函数值及插值函数值如表所示Р估计误差:在区间上Р Р而Р令得的驻点,于是Р故有结论Р, Р右端与无关,于是有Р, Р四Р1 确定参数和,使得积分取得最小值,并计算该最小值.Р解本题实质上是求,关于权函数的二次最佳平方逼近多项式.Р选切比雪夫多项式为基函数进行计算:Р于是得的二次最佳平方逼近多项式Р Р Р进而有参数.Р最小值就是平方误差:Р Р Р2 对彗星1968Tentax的移动在某个极坐标系下有如表所示的观察数据.Р Р Р假设忽略来自行星的干扰,坐标应满足Р其中为参数,为离心率,试用最小二乘法拟合和,并给出平方误差.
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